7.1 KiB
在信息论与概率统计学中，熵（entropy）是一个很重要的概念。在机器学习与特征工程中，熵的概念也用得灰常多。今天就把跟熵有关的东东稍微整理一下，权当笔记。
1.信息熵
熵是神马东东？信息论的开山祖师爷Shannon（中文翻译过来一般叫香农，总觉得很多文字经过翻译就不对劲，就跟人家老外翻译贱人就是矫情一样，感觉怪怪的。所以咱们还是用英文了，偷偷装个小逼）明确告诉我们，信息的不确定性可以用熵来表示：
对于一个取有限个值的随机变量X，如果其概率分布为：
P(X=x_i) = p_i, i = 1,2, \cdots,n
那么随机变量X的熵可以用以下公式描述：
H(X)=-\sum_{i=1}^n p_i \log p_i
每次看到这个式子，都会从心底里感叹数学的伟大与奇妙。在这之前，信息这东东对于人们来说，是个看着好像挺清晰实际还是很模糊的概念。Shannon用最简洁美妙的方式，告诉了整个世界信息到底应该怎么去衡量去计算。今天每个互联网人都知道，这个衡量的标准就是bit。正是由于bit的出现，才引领了我们今天信息时代的到来。所以即使把Shannon跟世界上最伟大的那些科学家相提并论，我觉得也丝毫不为过。
举个例子，如果一个分类系统中，类别的标识是c，取值情况是c_1,c_2,\cdots,c_n，n为类别的总数。那么此分类系统的熵为：
H(c)=-\sum_{i=1}^n p(c_i) \cdot \log_2 p(c_i)
更特别一点，如果是个二分类系统，那么此系统的熵为：
H(c) = p(c_0) \log _2p(c_0) + p(c_1) \log_2 p(c_1)
其中p(c_0)、p(c_1)分别为正负样本出现的概率。
2.条件熵(Conditional Entropy)与信息增益（Information Gain）
第一节我们谈到，信息的不确定性我们用熵来进行描述。很多时候，我们渴望不确定性，渴望明天又是新的一天，希望寻找新的刺激与冒险，所谓的七年之庠就是最好的例子。但是又有很多时候，我们也讨厌不确定性，比如现在的RTB广告，很多时候广告主其实希望不管什么情况下，这个广告位都是归我所有来投广告，别人都别跟我来抢，我把广告素材准备好以后，媒体按排期给我播就行了。所以在这种情况下，我们又要竭力去消除系统的不确定性。
那怎么样去消除系统的不确定性呢？当我们知道的信息越多的时候，自然随机事件的不确定性就越小。举个简单的例子：
如果投掷一枚均匀的筛子，那么筛子出现1-6的概率是相等的，此时，整个系统的熵可以表述为：H(c) = - \frac{1}{6} \log_2 \frac{1}{6} \times 6 = \log_2 6
如果我们加一个特征，告诉你掷筛子的结果出来是偶数，因为掷筛子出来为偶数的结果只可能为2,4,6，那么此时系统的熵为:
H(c) = - \frac{1}{3} \log_2 \frac{1}{3} \times 3 = \log_2 3
因为我们加了一个特征x：结果为偶数，所以整个系统的熵减小，不确定性降低。
来看下条件熵的表达式：
1.当特征x被固定为值x_i时，条件熵为: H(c|x=x_i)
2.当特征X的整体分布情况被固定时，条件熵为:H(c|X)
应该不难看出：
\begin{aligned}
H(c|X) &= -p(x=x_1)H(c|x=x_1) - p(x=x_2)H(c|x=x_2) - \cdots - p(x=x_n)H(c|x=x_n) \\\\
& = -\sum_{i=1}^{n} p(x=x_i)H(c|x = x_i) \\\\
& = -\sum_{i=1}^{n} p(x=x_i) p(c|x = x_i) \log_2 p(c|x = x_i) \\\\
& = -\sum_{i=1}^{n} p(c,x_i) \log_2p(c|x = x_i)
\end{aligned}
其中，n为特征X所出现所有种类的数量。
那么因为特征X被固定以后，给系统带来的增益(或者说为系统减小的不确定度)为： \begin{aligned} IG(X) & = H(c) - H(c|X) \\\\ & = -\sum_{i=1}^n p(c_i) \log_2 p(c_i)+\sum_{i=1}^{n} p(x=x_i)H(c|x = x_i) \end{aligned}
举个别人文章中例子：文本分类系统中的特征X,那么X有几个可能的值呢？注意X是一个固定的特征，比如关键词“经济”，当我们说特征“经济”可能的取值时，实际上只有两个，要么出现，要么不出现。假设x代表x出现，而\bar x表示x不出现。注意系统包含x但x不出现与系统根本不包含x可是两回事。
因此固定X时系统的条件熵为：
\begin{aligned}
H(C|X) &= -p(x)H(c|x) - p(\bar x) H(C| \bar x) \\\\
\end{aligned}
特征X给系统带来的信息增益(IG)为： \begin{aligned} IG(X) &= H(c) - H(c|X) \\\\ & =-\sum_{i=1}^n p(c_i) \log_2 p(c_i) + p(x) \sum_{i=1}^n p(c_i|x) \log_2 p(c_i|x) + p(\bar x)\sum_{i=1}^n p(c_i| \bar x) \log_2 p(c_i| \bar x) \end{aligned}
式子看上去很长，其实计算起来很简单，都是一些count的操作。-\sum_{i=1}^n p(c_i) \log_2 p(c_i)这一项不用多说，就是统计各个类别的概率，将每个类别的样本数量除以总样本量即可。$ p(x) _{i=1}^n p(c_i|x) _2 p(c_i|x)这一项，p(x)表示特征在样本中出现的概率，将特征出现的次数除以样本总量即可。p(c_i|x)表示特征出现的情况下，每个类别的概率分别为多少，也全是count操作。p(c_i| x)$操作以此类推。
3.信息增益做特征选择的优缺点
先来说说优点：
1.信息增益考虑了特征出现与不出现的两种情况，比较全面，一般而言效果不错。
2.使用了所有样例的统计属性，减小了对噪声的敏感度。
3.容易理解，计算简单。
主要的缺陷：
1.信息增益考察的是特征对整个系统的贡献，没有到具体的类别上，所以一般只能用来做全局的特征选择，而没法针对单个类别做特征选择。
2.只能处理离散型的属性值，没法处理连续值的特征。
3.算法天生偏向选择分支多的属性，容易导致overfitting。
4.信息增益比(Infomation Gain Ratio)
前面提到，信息增益的一个大问题就是偏向选择分支多的属性导致overfitting，那么我们能想到的解决办法自然就是对分支过多的情况进行惩罚(penalty)了。于是我们有了信息增益比，或者说信息增益率：
特征X的熵：
H(X)=-\sum_{i=1}^n p_i \log p_i
特征X的信息增益 ：
IG(X) = H(c) - H(c|X)
那么信息增益比为：
g_r = \frac {H(c) - H(c|X)}{H(X)}
在决策树算法中，ID3使用信息增益，c4.5使用信息增益比。
5.Gini系数
Gini系数是一种与信息熵类似的做特征选择的方式，可以用来数据的不纯度。在CART(Classification and Regression Tree)算法中利用基尼指数构造二叉决策树。
Gini系数的计算方式如下：
Gini(D) = 1 - \sum_{i=1}^{n} p_i^2
其中，D表示数据集全体样本，p_i表示每种类别出现的概率。取个极端情况，如果数据集中所有的样本都为同一类，那么有p_0 = 1，Gini(D) = 0，显然此时数据的不纯度最低。
与信息增益类似，我们可以计算如下表达式：
\Delta Gini(X) = Gini(D) - Gini_X(D)
上面式子表述的意思就是，加入特征X以后，数据不纯度减小的程度。很明显，在做特征选择的时候，我们可以取\Delta Gini(X)最大的那个