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原文链接：https://www.zhihu.com/question/24627666
1.核函数把低维空间映射到高维空间
下面这张图位于第一、二象限内。我们关注红色的门，以及“北京四合院”这几个字下面的紫色的字母。我们把红色的门上的点看成是“+”数据，紫色字母上的点看成是“-”数据，它们的横、纵坐标是两个特征。显然，在这个二维空间内，“+”“-”两类数据不是线性可分的。
我们现在考虑核函数K(v_1,v_2) = <v_1,v_2>^2，即“内积平方”。
这里面v_1=(x_1,y_1), v_2=(x_2,y_2)是二维空间中的两个点。
这个核函数对应着一个二维空间到三维空间的映射，它的表达式是：
P(x,y)=(x^2,\sqrt{2}xy,y^2)
在P这个映射下，原来二维空间中的图在三维空间中的像是这个样子：
前后轴为x轴，左右轴为y轴，上下轴为z轴）
注意到绿色的平面可以完美地分割红色和紫色，也就是说，两类数据在三维空间中变成线性可分的了。
而三维中的这个判决边界，再映射回二维空间中是这样的：
这是一条双曲线，它不是线性的。
如上面的例子所说，核函数的作用就是隐含着一个从低维空间到高维空间的映射，而这个映射可以把低维空间中线性不可分的两类点变成线性可分的。当然，我举的这个具体例子强烈地依赖于数据在原始空间中的位置。事实中使用的核函数往往比这个例子复杂得多。它们对应的映射并不一定能够显式地表达出来；它们映射到的高维空间的维数也比我举的例子（三维）高得多，甚至是无穷维的。这样，就可以期待原来并不线性可分的两类点变成线性可分的了。
2.常见的核函数
在机器学习中常用的核函数，一般有这么几类，也就是LibSVM中自带的这几类：
1) 线性：K(v_1,v_2)=<v_1,v_2>
2) 多项式：K(v_1,v_2)=(\gamma<v_1,v_2>+c)^n
3) Radial basis function：K(v_1,v_2)=\exp(-\gamma||v_1-v_2||^2)
4) Sigmoid：K(v_1,v_2)=\tanh(\gamma<v_1,v_2>+c)
我举的例子是多项式核函数中\gamma=1, c=0, n=2的情况。
3.核函数的性质
核函数只是满足某些必要条件的函数，其作用要与具体的算法结合才能显示出来。
我来简明说一下SVM中核技巧(kernel trick)的作用，一句话概括的话，就是降低计算的复杂度，甚至把不可能的计算变为可能。
核函数有如下一个性质：
K(x_1,x_2) = \phi (x_1)*\phi(x_2)
其中\phi(x) 是对x做变换的函数，有些变换会将样本映射到更高维的空间，如果这个高维空间内x_1与x_2是线性可分的，那么我们就做了一次成功的变换。核函数是二元函数，输入是变换之前的两个向量，其输出与两个向量变换之后的内积相等（这个性质非常重要）
4.核函数与SVM
求解SVM时，其原始形式(这里我们假设已经对原始的输入做了变换，即输入模型的样本变成了\phi(x))
\frac{1}{2}w^{T}w + C\sum_{1}^{N}{\beta_i} s.t.
y_i(w^{T}\phi(x_i)+b) \geq 1 - \beta_i
\beta_i \geq 0
i = 1 , 2… N(N为样本个数)
这是个二次规划，因为未知量的个数是参数w的维度，而w的维度与样本的维度相等，即等于变换后\phi(x)的的维度，所以其求解复杂度与样本的维数正相关，这意味着，如果我们把原始样本从十维空间变换到一万维的空间，那么求解该问题的时间复杂度提升了1000倍或者更多，我们知道有些变换可以将样本换边到无穷维空间，那么这种变化之后直接是不可求解的。上面的问题可以使用对偶 + 核技巧的组合来解决。
我们也知道，SVM原始形式的对偶问题是：
\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}{\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^{T}\phi(x_j)} - \sum_{i=1}^{N}{\alpha_i} s.t.
0\leq\alpha_i\leq C
\sum_{i=1}^{N}{y_i\alpha_i} = 0
很明显，未知量\alpha的个数与样本的个数是相等的，那么这个对偶问题计算的时间复杂度是与训练样本的个数正相关的(这也是为啥样本个数太多的时候不推荐使用带核技巧的SVM的原因)。
仅仅做对偶还没有解决问题，因为在$ {i=1}^{N}{j=1}{N}{ijy_iy_j(x_i)^{T}(x_j)} - {i=1}{N}{i} $ 中还要求\phi(x_i)^{T}\phi(x_j)，这就需要将样本先变换到高维空间，然后再求在高维空间内的内积，这样的变换还是需要很多计算资源。等等，我们说过核函数的作用是“核函数是二元函数，输入是变换之前的两个向量，其输出与两个向量变换之后的内积相等”，所以我们可以用K(x_i,x_j)来代替${i=1}{N}{j=1}{N}{_ijy_iy_j(x_i)^{T}(x_j)} - {i=1}^{N}{_i} 中的(x_i)^{T}(x_j)$，避免了显式的特征变换。于是，使用对偶+核技巧，我们成功解决了问题。